BERLOGIKA DALAM MATEMATIKA

Sebelum saya memberikan materi training matematika pada 50 guru SD dan SMP (Guru matematika dan sains) di suatu sekolah di Cibubur, saya melemparkan pertanyaan ringan sebagai pembuka, dan jawabannya dituliskan pada sehelai kertas HVS. Pertanyaannya sebagai berikut, “ lebih berat mana antara 2 buah mangga dengan 3 buah jeruk?”. Dari semua jawaban yang masuk, ternyata 70 % menjawab berat mangga dengan alasan mangga lebih besar dan berat dibandingkan jeruk, dan 30 % menjawab tergantung besar kecilnya mangga maupun jeruk sehingga tidak bisa dipastikan jawabannya. Tak satupun yang memberikan jawaban dengan tepat dan akurat, seperti yang saya harapkan (dalam hati saya cukup prihatin dengan kondisi ini, karena yang saya hadapi adalah para guru matematika dan sains).
Sebenarnya pertanyaan diatas dapat dijawab dengan cara bermain logika, berfikir secara logis, sehingga didapat jawaban yang akurat dengan alasan yang mendasar dan secara ilmiah juga dapat dipertanggungjawabkan. Ada 3 jawaban yang benar (dengan asumsi berat tiap-tiap mangga maupun berat tiap-tiap jeruk sama)

1.Jawaban pertama:
2 buah mangga mempunyai berat yang sama dengan 3 buah jeruk, jika berat sebuah mangga sama dengan 3/2 kali berat sebuah jeruk. Atau jumlah buah pada 3 kg mangga sama dengan jumlah buah pada 2 kg jeruk

2.Jawaban kedua:
2 buah mangga lebih berat dibandingan 3 buah jeruk, jika berat sebuah mangga lebih besar dari 3/2 kali berat sebuah jeruk. Atau jumlah buah pada 3 kg mangga lebih sedikit dibanding dengan jumlah buah pada 2 kg jeruk

3.Jawaban ketiga:
2 buah mangga lebih ringan dibanding 3 buah jeruk, jika berat sebuah mangga lebih kecil di banding 3/2 kali berat sebuah jeruk. Atau jumlah buah pada 3 kg mangga lebih banyak dibanding jumlah jeruk pada 2 kg jeruk.

Mengapa 70% peserta training menjawab dengan pasti bahwa 2 buah mangga lebih berat dibanding 3 buah jeruk? Mereka terjebak dengan factor pengalaman yang sering dilihat, dirasakan, dan itu dijadikan sebagai pembenaran. Mangga yang sering kita lihat adalah mangga Harum Manis, Manalagi, yang notabene memang lebih berat dibanding dengan jeruk Medan, Pontianak, Mandarin. Padahal kalau kita mau mengembangkan logika berfikir kita, keluar dari factor “kebiasaan”, maka kita akan melihat buah jeruk Bali yang sangat besar, ataupun jeruk Limau yang sangat kecil, atau jeruk Baby mempunyai ukuran sebesar mangga Gedong.

30% jawaban yang menggambarkan ketidakpastian jawaban karena tergantung besar kecilnya buah, sebenarnya mereka sudah lebih maju dan jauh berfikir, menggunakan logika yang benar. Hanya mereka belum merumuskan lebih rinci, dengan alasan-alasan akurat sehingga secara ilmiah hal ini belum bisa dibenarkan.

Mempelajari matematika, disamping harus menghafal rumus-rumus, namun yang sangat tidak boleh diabaikan adalah logika berfikir. Dengan logika matematika, kita akan menjadi lebih kritis dan kreatif, sehingga permasalahan-permasalahan dalam matematika yang kelihatannya rumit, ternyata dapat diuraikan dengan lebih mudah dan sederhana. Matematika menjadi fun and easy. Good luck.


By: Wanti
+622185715044405

Sifat keterbagian suatu bilangan

1.     Bilangan kelipatan 2

Jika bilangan tersebut merupakan bilangan genap (satuan 0, 2, 4, 6, atau 8)

Contoh:

 3.560,  467.792,  687.904,  7.586.436,  8.765.368

2.     Bilangan kelipatan 3

Jika jumlah angka-angka pembentuk bilangan tersebut merupakan bilangan kelipatan 3

Contoh

564.741 ------- jumlah angka-angkanya 5 + 6 + 4 + 7 + 4 + 1 = 27 ---- 2 + 7 = 9

                          9 merupakan bilangan kelipatan 3, jadi 564.741 juga merupakan bilangan kelipatan 3.

3.     Bilangan kelipatan 4

Jika nilai 2 angka terakhir dari bilangan tersebut merupakan bilangan kelipatan 4

Contoh:

53.632 --------- 32 merupakan bilangan kelipatan 4, jadi 53.632 juga merupakan bilangan kelipatan 4.

4.     Bilangan kelipatan 5

Jika bilangan tersebut bersatuan 0 atau 5

Contoh:

5.095,  53.890

5.     Bilangan kelipatan 6

Jika bilangan tersebut merupakan bilangan genap, dan jumlah angka-angkanya pembentuk bilangan tersebut merupakan bilangan kelipatan 3

Contoh:

24.576 ---------- bersatuan 6, berarti merupakan bilangan genap

                           Jumlah angka-angkanya 2 + 4 + 5 + 7 + 6 = 24 ----- 2 + 4 = 6 ( 6 kelipatan3)

                           Karena memenuhi kedua syarat tersebut, maka 24.576 merupakan bilangan kelipatan 6.

6.     Bilangan kelipatan 7

Sampai saat ini belum diketemukan formulanya

7.     Bilangan kelipatan 8

Jika nilai 3 angka terakhir dari bilangan tersebut merupakan bilangan kelipatan 8

Contoh:

5.768.144 ----- 144 merupakan bilangan kelipatan 8, jadi 5.768.144 juga merupakan bilangan kelipatan 8

8.     Bilangan kelipatan 9

Jika jumlah angka-angka pembentuk bilangan tersebut merupakan bilangan kelipatan 9

Contoh:

43.785 --------- jumlah angka-angkanya  4 + 3 + 7 + 8 + 5 = 27 ---- 2 + 7 = 9

                          9 merupakan bilangan kelipatan 9, jadi 43.785 juga merupakan bilangan kelipatan 9

9.     Bilangan kelipatan 10

Jika nilai satuanya adalah 0

Contoh:L

5.640,   67.000,  435.790

Jika sudah memahami sifat keterbagian bilangan di atas, maka coba selesaikan permasalahan dibawah ini

 Diketahui bilangan terdiri 8 digit   45x537yz habis dibagi dengan 180. Tentukan x, y, z dan bilangan-bilangan yang mungkin              

                       

                       

PERKALIAN CEPAT DAN MUDAH

Trik Mnemonic ( Menghapal Dengan Cepat)

Dalam The Master Season 1 Joe Sandy pernah menunjukkan kemampuan super memori untuk menghafalkan urutan 52 kartu dengan metode “Mnemonic”. Istilah ini juga sangat populer di kalangan para mentalist, ilmuwan, bahkan pelajar.

Apakah Mnemonic Itu?
Mnemonic berasal dari bahasa Yunani, “Mnemosyne”, yang berarti Dewi Memori. Yang dimaksud Mnemonic adalah menghafalkan sesuatu dengan “bantuan”. Bantuan tersebut bisa berupa singkatan, pengandaian dengan benda, atau “linking” (mengingat sesuatu berdasarkan hubungan dengan suatu hal lain), dan masih banyak metode lain. Contoh Mnemonic yang paling populer adalah “MEJIKUHIBINIU” (Merah-Jingga-Kuning-Hijau-Biru-Nila-Ungu) yang digunakan untuk menghafalkan warna pelangi.

Berikut adalah contoh trik magic yang menggunakan trik Mnemonic:
Masih ingat penampilan Denny Darko menghafalkan 30 angka pilihan penonton dan menjumlahkannya?!. Apakah dia menggunakan photographic memory (menghafal gambar) atau dengan trik lain ?
Ini adalah trik Magic yang mengunakan ingatan kita. Caranya yakni merubah urutan angka tersebut menjadi sebuah kata. Umpamakan angka menjadi huruf berikut :
1 = T , D
2 = N
3 = M
4 = R
5 = L
6 = J,G (ex : engine) ,Ch,Sh,Zh,Z
7 = K,G (ex : good),C,Q
8 = F,V
9 = P,B
0 = S,Z
Caranya,misal ada angka 34713720 ,pertama bagi tiap 2 angka.
jadi, 34-71-37-20 ,lalu bikin kata2 dari angka itu dengan cara di atas.
34=MaRi
71=KiTa
37=MaKan
20=NaSi
Nah jadi dapat kita baca MARI KITA MAKAN NASI . Trik ini membutuhkan latihan berkali2 agar cepat menentukan kata2nya. Semoga bermanfaat !!.
Note :
Mnemonic juga termasuk salah satu magic dengan tingkat kesulitan yang tinggi. Anda harus banyak-banyak berlatih untuk dapat menguasai trik ini dengan sempurna.

Disadur dari Wiku Magic.

Tips mengenal MATEMATIKA untuk si kecil

Tips mengenal MATEMATIKA untuk si kecil

Pengenalan matematika tidak hanya di bangku sekolah saja akan tetapi bisa dikenalkan pada usia batita dirumah..bahkan kita hidup tidak lepas dari matematika..seperti Di dapur, di kamar tidur, di mana saja si kecil bisa belajar matematika.


Pengenalan konsep matematika sejak batita diyakini akan membantu memperkuat intelektualitas anak di bangku sekolah. Asal tahu saja, kemampuan menyerap pembelajaran matematika pada siswa SD terbukti tidak hanya ditentukan oleh tingkat kecerdasan anak, melainkan juga pengalamannya selama era prasekolah.


LOGIKA KESEHARIAN* Bentuk dan perbedaan
Pengenalan matematika pada batita hendaknya lebih menekankan pada pengenalan logika yang menunjukkan bentuk dan perbedaan. Contohnya pengenalan bentuk lingkaran, bola, segitiga, bujur sangkar, persegi panjang, kubus, balok dan silinder.

Alangkah baiknya jika aneka benda dalam berbagai bentuk tadi memiliki beragam warna serta dapat mengeluarkan bunyi-bunyian. Jadi selain dapat melihat dan meraba bentuknya, benda-benda tadi juga bisa digunakan untuk menstimulasi indra pendengaran si kecil.


Pengenalan yang paling sederhana dapat dilakukan dengan senantiasa menciptakan "lingkungan matematika" di rumah. Misalnya, ayah dan ibu tidak lupa menyertakan bentuk benda yang dipegang si kecil. "Yuk kita makan dengan piring bundar dan minum dari gelas silinder ini." Boleh jadi selama ini bapak dan ibu sudah melakukannya, tapi tak menyadari kalau yang dilakukan sebenarnya bernuansa matematika. Contoh lagi, "Ayo Dek, susunya dihabiskan dong. Masih separuh lagi, Sayang. Anak pintar kan minum susunya habis satu gelas." Pembiasaan-pembiasaan ini hendaknya dilanjutkan agar anak terlatih melek matematika.

* Mendongeng atau berceritaMatematika bisa diselipkan ketika ayah/ibu sedang mendongeng kepada si kecil. Saat bercerita tentang induk ayam yang sedang bertelur, contohnya, sampaikan berapa jumlah telur yang ada, apa bentuk telur dan sebagainya. Lama-kelamaan batita akan mengerti mengenai konsep jumlah dan bentuk. Terutama bila orangtua bisa kreatif mendongeng berbagai cerita yang selalu mengaitkan dengan konsep matematika seperti aneka bentuk, pengurangan dan penjumlahan sederhana, serta perbandingan. Jangan lupa, kala bercerita tunjukkan ekspresi dan suara penuh penjiwaan sehingga anak merasa tertarik.


* Menunjukkan bentuk benda apa sajaMengenalkan konsep matematika tak melulu harus menggunakan peraga dari balok kayu. Bisa juga dengan buah yang berbentuk bulat dari pohon atau kantong belanjaan. Atau bisa juga dengan memanfaatkan benda/perkakas apa saja yang ada di rumah. Misalnya kotak perhiasaan ibu yang berbentuk kubus, atau piring makan yang berbentuk bundar. Pendek kata, segala sesuatu yang mengarahkan asosiasi anak pada konsep matematika hendaknya dimanfaatkan semaksimal mungkin. Menunjukkan penjumlahan dan pengurangan pun dapat dilakukan dengan memperlihatkan benda secara langsung.


* Mengenalkan pada konsep angka
Bukan sekadar lewat hapalan 1 sampai 10 ataupun pengurangan dan penjumlahan rumit. Melainkan lakukan dalam hal-hal sederhana yang konkret, semisal nomor-nomor di pesawat telepon. "Dek, mama mau telepon Eyang nih. Adek yang pencetin nomornya ya," sambil menyodorkan secarik kertas yang memuat angka-angka yang ditulis dalam ukuran cukup besar.



* Memasak di dapur
Memasak sebetulnya merupakan aktivitas yang sarat matematika karena berkaitan dengan kemampuan mengatur porsi, menakar, mengukur, dan menentukan waktu. Meski si batita belum mengerti sepenuhnya mengenai satuan ukuran dalam timbangan dan gelas ukur, kenalkan saja.

Ketika membuat jus jambu, misalnya, katakan dengan suara cukup lantang, "Yuk kita masukkan sebuah jambu yang sudah dipotong jadi empat bagian ini. Tambahkan gula pasir dua sendok makan dan setengah gelas air putih." Dengan cara ini, si kecil mulai memasukkan konsep-konsep angka dalam kepalanya.


Bila ia ngotot ingin membantu ibu membuat kue, beri kesempatan kepadanya untuk membantu menimbang bahan-bahan yang dibutuhkan. "Adek masukkan tepung 200 gram. Nah, sekarang lihat jarum timbangannya bergerak sampai di angka dua ratus." Harap dicatat, si batita tentu belum tahu berapa ukuran 200 gram itu. Tapi dengan pembelajaran secara langsung ia mulai mempelajari simbol-simbolnya. Bukankah angka berkaitan dengan simbol?

* Membandingkan ukuran
Pembelajaran yang satu ini pun bisa dilakukan di mana saja. Ketika di meja tergeletak 2 pensil yang berbeda ukuran, Anda bisa menanyakan, "Dek, mana ya pensil yang lebih panjang dan mana ya yang lebih pendek?" Atau ketika sedang menyaksikan tayangan kartun, pancing anak dengan pertanyaan mengenai siapa yang badannya lebih besar, apakah Tom si kucing dan Jerry si tikus. Atau ketika ibu menenteng dua tas sepulang belanja, tanyakan "Menurut Adek, mana ya tas yang lebih berat?"

Sebenarnya di saat melakukan berbagai aktivitas di atas, orangtua sudah mengajarkan pada anak batitanya konsep panjang, berat dan sejenisnya meski masih pada tataran sederhana. Ini berarti fungsi kecerdasan matematika mendapat stimulasi lewat cara-cara sederhana.

AGAR MENYENANGKAN

• Sampaikan dengan cara menyenangkan dan kreatif, di antaranya lewat beragam permainan dan kegiatan di rumah.
• Bersikaplah sabar dan telaten, tidak memaksa
• Mulailah saat si kecil relaks kapan dan di mana saja. Namun, gantilah segera topiknya kalau si kecil mulai bosan dengan obrolan matematika. Mungkin ia sedang ingin belajar yang lain atau bermanja-manja
• Perhatikan faktor keamanan. Alat peraga seperti gelas kaca berbentuk silinder memang contoh yang baik, tapi bisa berbahaya. Kalau jatuh dan pecahan kacanya mengenai si kecil bisa-bisa ia mengalami trauma.
• Perbanyak referensi mengenai matematika untuk usia dini
• Reward dan punishment sebaiknya tidak diterapkan di usia batita karena tujuan pengenalan matematika pada batita bukanlah untuk mengetesnya mampu berhitung atau tidak.
  sumber dari nakitaonline

  Sumber : http://tips-dunia-anak.blogspot.com

 Misteri Bilangan LUBANG HITAM

Dalam astronomi dan fisika, kita mengenal adanya suatu fenomena alam yang sangat menarik yaitu lubang hitam (black hole). Lubang hitam adalah suatu entitas yang memiliki medan gravitasi yang sangat kuat sehingga setiap benda yang telah jatuh di wilayah horizon peristiwa (daerah di sekitar inti lubang hitam), tidak akan bisa kabur lagi. Bahkan radiasi elektromagnetik seperti cahaya pun tidak dapat melarikan diri, akibatnya lubang hitam menjadi "tidak kelihatan".

Ternyata, dalam matematika juga ada fenomena unik yang mirip dengan fenomena lubang hitam yaitu bilangan lubang hitam. Bagaimana sebenarnya bilangan lubang hitam itu? Mari kita bermain-main sebentar dengan angka. 

Coba pilih sesuka hati Anda sebuah bilangan asli (bilangan mulai dari 1 sampai tak hingga). Sebagai contoh, katakanlah 141.985. Kemudian hitunglah jumlah digit genap, digit ganjil, dan total digit bilangan tersebut. Dalam kasus ini, kita dapatkan 2 (dua buah digit genap), 4 (empat buah digit ganjil), dan 6 (enam adalah jumlah total digit). Lalu gunakan digit-digit ini (2, 4, dan 6) untuk membentuk bilangan berikutnya, yaitu 246.

Ulangi hitung jumlah digit genap, digit ganjil, dan total digit pada bilangan 246 ini. Kita dapatkan 3 (digit genap), 0 (digit ganjil), dan 3 (jumlah total digit), sehingga kita peroleh 303. Ulangi lagi hitung jumlah digit genap, ganjil, dan total digit pada bilangan 303. (Catatan: 0 adalah bilangan genap). Kita dapatkan 1, 2, 3 yang dapat dituliskan 123.

Jika kita mengulangi langkah di atas terhadap bilangan 123, kita akan dapatkan 123 lagi. Dengan demikian, bilangan 123 melalui proses ini adalah lubang hitam bagi seluruh bilangan lainnya. Semua bilangan di alam semesta akan ditarik menjadi bilangan 123 melalui proses ini, tak satu pun yang akan lolos.

Tapi benarkah semua bilangan akan menjadi 123? Sekarang mari kita coba suatu bilangan yang bernilai sangat besar, sebagai contoh katakanlah 122333444455555666666777777788888888999999999. Jumlah digit genap, ganjil, dan total adalah 20, 25, dan 45. Jadi, bilangan berikutnya adalah 202.545. Lakukan lagi iterasi (pengulangan), kita peroleh 4, 2, dan 6; jadi sekarang kita peroleh 426. Iterasi sekali lagi terhadap 426 akan menghasilkan 303 dan iterasi terakhir dari 303 akan diperoleh 123. Sampai pada titik ini, iterasi berapa kali pun terhadap 123 akan tetap diperoleh 123 lagi. Dengan demikian, 123 adalah titik absolut sang lubang hitam dalam dunia bilangan.

Namun, apakah mungkin saja ada suatu bilangan, terselip di antara rimba raya alam semesta bilangan yang jumlahnya tak terhingga ini, yang dapat lolos dari jeratan maut sang bilangan lubang hitam, sang 123 yang misterius ini?

"Misteri Bilangan NOL"

Yusmichad Yusdja, Staf peneliti pada Pusat Penelitian dan Pengembangan Sosial dan ekonomi Pertanian IPB

Ratusan tahun yang lalu, manusia hanya mengenal 9 lambang bilangan yakni 1, 2, 2, 3, 5, 6, 7, 8, dan 9. Kemudian, datang angka 0, sehingga jumlah lambang bilangan menjadi 10 buah. Tidak diketahui siapa pencipta bilangan 0, bukti sejarah hanya memperlihatkan bahwa bilangan 0 ditemukan pertama kali dalam zaman Mesir kuno. Waktu itu bilangan nol hanya sebagai lambang. Dalam zaman modern, angka nol digunakan tidak saja sebagai lambang, tetapi juga sebagai bilangan yang turut serta dalam operasi matematika. Kini, penggunaan bilangan nol telah menyusup jauh ke dalam sendi kehidupan manusia. Sistem berhitung tidak mungkin lagi mengabaikan kehadiran bilangan nol, sekalipun bilangan nol itu membuat kekacauan logika. Mari kita lihat.

Nol, penyebab komputer macet

Pelajaran tentang bilangan nol, dari sejak zaman dahulu sampai sekarang selalu menimbulkan kebingungan bagi para pelajar dan mahasiswa, bahkan masyarakat pengguna. Mengapa? Bukankah bilangan nol itu mewakili sesuatu yang tidak ada dan yang tidak ada itu ada, yakni nol. Siapa yang tidak bingung? Tiap kali bilangan nol muncul dalam pelajaran Matematika selalu ada ide yang aneh. Seperti ide jika sesuatu yang ada dikalikan dengan 0 maka menjadi tidak ada. Mungkinkah 5*0 menjadi tidak ada? (* adalah perkalian). Ide ini membuat orang frustrasi. Apakah nol ahli sulap?

Lebih parah lagi-tentu menambah bingung-mengapa 5+0=5 dan 5*0=5 juga? Memang demikian aturannya, karena nol dalam perkalian merupakan bilangan identitas yang sama dengan 1. Jadi 5*0=5*1. Tetapi, benar juga bahwa 5*0=0. Waw. Bagaimana dengan 5^o=1, tetapi 50^o=1 juga? Ya, sudahlah. Aturan lain tentang nol yang juga misterius adalah bahwa suatu bilangan jika dibagi nol tidak didefinisikan. Maksudnya, bilangan berapa pun yang tidak bisa dibagi dengan nol. Komputer yang canggih bagaimana pun akan mati mendadak jika tiba-tiba bertemu dengan pembagi angka nol. Komputer memang diperintahkan berhenti berpikir jika bertemu sang divisor nol.

Bilangan nol: tunawisma

Bilangan disusun berdasarkan hierarki menurut satu garis lurus. Pada titik awal adalah bilangan nol, kemudian bilangan 1, 2, dan seterusnya. Bilangan yang lebih besar di sebelah kanan dan bilangan yang lebih kecil di sebelah kiri. Semakin jauh ke kanan akan semakin besar bilangan itu. Berdasarkan derajat hierarki (dan birokrasi bilangan), seseorang jika berjalan dari titik 0 terus-menerus menuju angka yang lebih besar ke kanan akan sampai pada bilangan yang tidak terhingga. Tetapi, mungkin juga orang itu sampai pada titik 0 kembali. Bukankah dunia ini bulat? Mungkinkah? Bukankah Columbus mengatakan bahwa kalau ia berlayar terus-menerus ia akan sampai kembali ke Eropa?

Lain lagi. Jika seseorang berangkat dari nol, ia tidak mungkin sampai ke bilangan 4 tanpa melewati terlebih dahulu bilangan 1, 2, dan 3. Tetapi, yang lebih aneh adalah pertanyaan mungkinkan seseorang bisa berangkat dari titik nol? Jelas tidak bisa, karena bukankah titik nol sesuatu titik yang tidak ada? Aneh dan sulit dipercaya? Mari kita lihat lebih jauh.

Jika di antara dua bilangan atau antara dua buah titik terdapat sebuah ruas. Setiap bilangan mempunyai sebuah ruas. Jika ruas ini dipotong-potong kemudian titik lingkaran hitam dipindahkan ke tengah-tengah ruas, ternyata bilangan 0 tidak mempunyai ruas. Jadi, bilangan nol berada di awang-awang. Bilangan nol tidak mempunyai tempat tinggal alias tunawisma. Itulah sebabnya, mengapa bilangan nol harus menempel pada bilangan lain, misalnya, pada angka 1 membentuk bilangan 10, 100, 109, 10.403 dan sebagainya. Jadi, seseorang tidak pernah bisa berangkat dari angka nol menuju angka 4. Kita harus berangkat dari angka 1.

Mudah, tetapi salah

Guru meminta Ani menggambarkan sebuah garis geometrik dari persamaan 3x+7y = 25. Ani berpikir bahwa untuk mendapatkan garis itu diperlukan dua buah titik dari ujung ke ujung. Tetapi, setelah berhitung-hitung, ternyata cuma ada satu titik yang dilewati garis itu, yakni titik A(6, 1), untuk x=6 dan y=1. Sehingga Ani tidak bisa membuat garis itu. Sang guru mengingatkan supaya menggunakan bilangan nol. Ya, itulah jalan keluarnya. Pertama, berikan y=0 diperoleh x=(25-0)/3=8 (dibulatkan), merupakan titik pertama, B(8,0). Selanjutnya berikan x=0 diperoleh y=(25-3.0)/7=4 (dibulatkan), merupakan titik kedua C(0,4). Garis BC, adalah garis yang dicari. Namun, betapa kecewanya sang guru, karena garis itu tidak melalui titik A. Jadi, garis BC itu salah.

Ani membela diri bahwa kesalahan itu sangat kecil dan bisa diabaikan. Guru menyatakan bahwa bukan kecil besarnya kesalahan, tetapi manakah yang benar? Bukankah garis BC itu dapat dibuat melalui titik A? Kata guru, gunakan bilangan nol dengan cara yang benar. Bagaimana kita harus membantu Ani membuat garis yang benar itu? Mudah, kata konsultan Matematika. Mula-mula nilai 25 dalam 3x+7y harus diganti dengan hasil perkalian 3 dan 7 sehingga diperoleh 3x+7y=21.

Selanjutnya, dalam persamaan yang baru, berikan y=0 diperoleh x=21/3=7 (tanpa pembulatan) itulah titik pertama P(6,1). Kemudian berikan nilai x=0 diperoleh y=21/7 = 3 (tanpa pembulatan), itulah titik kedua Q(0, 3). Garis PQ adalah garis yang sejajar dengan garis yang dicari, yakni 3x+7y=25. Melalui titik A tarik garis sejajar dengan PQ diperoleh garis P1Q1. Nah, begitulah. Sang murid telah menemukan garis yang benar berkat bantuan bilangan nol.

Akan tetapi, sang guru masih sangat kecewa karena sebenarnya tidak ada satu garis pun yang benar. Bukankah dalam persamaan 3x1+7x2=25 hanya ada satu titik penyelesaian yakni titik A, yang berarti persamaan 3x1+7x2 itu hanya berbentuk sebuah titik? Bahkan pada persamaan 3x1+7x2=21 tidak ada sebuah titik pun yang berada dalam garis PQ. Oleh karena itu, garis PQ dalam sistem bilangan bulat, sebenarnya tidak ada. Aneh, bilangan nol telah menipu kita. Begitulah kenyataannya, sebuah persamaan tidak selalu berbentuk sebuah garis.

Bergerak, tetapi diam

Bilangan tidak hanya terdiri atas bilangan bulat, tetapi juga ada bilangan desimal antara lain dari 0,1; 0,01; 0,001; dan seterusnya sekuat-kuat kita bisa menyebutnya sampai sedemikian kecilnya. Karena sangat kecil tidak bisa lagi disebut atau tidak terhingga dan pada akhirnya dianggap nol saja. Tetapi, ide ini ternyata sempat membingungkan karena jika bilangan tidak terhingga kecilnya dianggap nol maka berarti nol adalah bilangan terkecil? Padahal, nol mewakili sesuatu yang tidak ada? Waw. Begitulah.

Berdasarkan konsep bilangan desimal dan kontinu, maka garis bilangan yang kita pakai ternyata tidak sesederhana itu karena antara dua bilangan selalu ada bilangan ke tiga. Jika seseorang melompat dari bilangan 1 ke bilangan 2, tetapi dengan syarat harus melompati terlebih dahulu ke bilangan desimal yang terdekat, bisakah? Berapakah bilangan desimal terdekat sebelum sampai ke bilangan 2? Bisa saja angka 1/2. Tetapi, anda tidak boleh melompati ke angka 1/2 karena masih ada bilangan yang lebih kecil, yakni 1/4. Seterusnya selalu ada bilangan yang lebih dekat... yakni 0,1 lalu ada 0,01, 0,001, ..., 0,000001. demikian seterusnya, sehingga pada akhirnya bilangan yang paling dekat dengan angka 1 adalah bilangan yang demikian kecilnya sehingga dianggap saja nol. Karena bilangan terdekat adalah nol alias tidak ada, maka Anda tidak pernah bisa melompat ke bilangan 2?

Disadur dari: http://www.duniaesai.com/sains/sains16.htm

INDAHNYA MATEMATIKA

INDAHNYA MATEMATIKA

TAHUKAH ANDA PERSEGI AJAIB?

YA, PERSEGI YANG MEMUAT BILANGAN ASLI BERURUTAN SEDEMIKIAN HINGGA JUMLAH BILANGAN PADA TIAP BARIS, TIAP KOLOM, TIAP DIAGONAL SELALU SAMA

Contoh persegi ajaib adalah

Perhatikan bahwa persegi berorodo 3 x 3 tersebut memiliki keistimewaan jumlah tiap baris, tiap kolom, dan tiap diagonal adalah15

Demikian juga persegi berordo 4 x 4 berikut yang memiliki keistimewaan jumlah tiap baris, tiap kolom, dan tiap diagonal adalah 34.
Bahkan tiap 4 bilangan membentuk persegi 2 x 2 selalu berjumlah 34 juga.

TAHUKAH ANDA???

Ternyata ada yang lebih aneh dan lebih indah, yaitu jika kita hubungkan bilangan secara berurutan mulai dari 1 akan terbentuk gambar seperti berikut

Diperoleh gambar 'CANTIK' seperti berikut

sumber : www.sulap matematika.com

Taman Ilmu

Taman Ilmu

By. M. Ishak Zainal

ALANGKAH indahnya jika kampus itu diibarakan sebagai sebuah taman ilmu. Sebuah taman yang dihuni manusia-manusia beradab dan berakal sehat. Yang menjadikan akal budi sebagai pijakan, dan produk pikirannya menghias dan menaburi sisi kemanusiaan dan pengembangan ilmu pengetahuan di sekitarnya. Sebuah taman tempat orang untuk bebas mengeruk pengetahuan dan mengais-ngais kebenaran yang terpendam denga melahirkan karya-karya baru.

Betapa sejuknya taman itu, bila salam perdamaian dan kreativitas bertaburan menyambut kedatangan mahasiswa baru. Mereka melindungi mahasiswa baru dari cemaran pikiran dan pola laku yang terformat. Mereka membersihkan sampah-sampah pikiran yang telah diisi dengan persepsi-persip keliru.

Semakin sejuknya taman ilmu itu, bila mereka yang bersilang pendapat menjadikan pengertian dan pemahaman sebagai alat perekat mereka. Alangkah hikmahnya, bila setiap persoalan ditempatkan sesuai duduk persoalannya, dan setiap sengketa pribadi diselesaikan dengan renungan, ketajaman pikiran, silaturrahmi agar tidak terhadap keharmonisan taman itu.
***
Tapi bagaimana menumbuhkan dan melahirkan sosok yang mampu menyelesaikan masalah? Gilbert Highet memiliki jawaban:

Mereka –para pemikir besar- tidak tumbuh seperti pepohonan. Mereka tidak dimuliakan seperti hewan-hewan pilihan. Namun ada dua cara memupuk mereka selagi tumbuh; berilah mereka tantangan dan rangsangan. Letakkan masalah-masalah di hadapan mereka. Hasilkan sesuatu untuk dipikirkan oleh mereka. Diskusikan tiap tahap pemikiran mereka. Usulkan kepada mereka untuk melakukan percobaan. Minta mereka mengungkapkan apa-apa yang tersembunyi. Lalu anjurkan mereka agar mengenal pemikiran-pemikiran yang menonjol. Itulah tawaran kiatnya.
***
Alangkah disegeninya sebuah taman ilmu itu, bila penghuni taman itu tidak saja melahirkan intelektual-intelektual muda, tetapi pemuda-pemuda yang berteriak garang terhadap para penjarah negeri, terhadap para penjarah hak-hak rakyat, seperti prajurit-prajurit muda yang mengibarkan bendera perang terhadap para koruptor.

Alangkah bangganya mereka yang menempatkan anak-anaknya di taman ilmu itu, karena mereka dapat menjadi penyambung lidah dan pelapis dada ketika kesewenang-wenangan merajalela.

Sungguh, mereka begitu bangga, namun kebanggan itu kini hanya milik impian saja. (Identitas, Juli 1999)

Amazing Maths

Beauty of Math!
x
1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

Brilliant, isn't it?

And look at this symmetry:

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321

Now, take a look at this...


101%



From a strictly mathematical viewpoint:



What Equals 100%?
What does it mean to give MORE than 100%?

Ever wonder about those people who say they are giving more than 100%?

We have all been in situations where someone wants you to
GIVE OVER 100%.

How about ACHIEVING 101%?


What equals 100% in life?


Here's a little mathematical formula that might help
answer these questions:


If:

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Is represented as:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26.


If:


H-A-R-D-W-O-R- K

8+1+18+4+23+15+18+11 = 98%


And:

K-N-O-W-L-E-D-G-E

11+14+15+23+12+5+4+7+5 = 96%


But:

A-T-T-I-T-U-D-E

1+20+20+9+20+21+4+5 = 100%



THEN, look how far the love of God will take you:



L-O-V-E-O-F-G-O-D

12+15+22+5+15+6+7+15+4 = 101%


Therefore, one can conclude with mathematical certainty that:

While Hard Work and Knowledge will get you close, and Attitude will
get you there, It's the Love of God that will put you over the top!

sumber : www.duniapustaka.net

Terungkapnya Dua Misteri Matematika

Dua dari tujuh persoalan matematika milenium ini mungkin sudah terpecahkan. Rahasia Poincare Conjecture dan Hipotesis Riemann itu bakal mengubah masa depan.

Exeter - Para matematikawan dunia telah berada di ambang solusi dua dari tujuh pekerjaan rumah terbesar milenium ini dalam dunia matematika. Satu persoalan menjanjikan pemahaman tentang hubungan antara bentuk dan waktu. Sementara itu, yang lain bisa jadi berpotensi membawa ancaman bagi dunia keuangan karena mampu memecahkan rahasia-rahasia penyandian.

Dua pekerjaan rumah itu adalah tentang Poincare Conjecture - sebuah teorema yang coba menerangkan perilaku bentuk-bentuk multidimensional - dan Hipotesis Riemann, yang mencoba menerangkan pola acak dari bilangan-bilangan prima. Keduanya bersama lima permasalahan lainnya disebut-sebut sebagai "Persoalan Milenium" dan telah ada selama seabad lebih.

Empat tahun lalu, yayasan swasta nirlaba Clay Mathematics Institute di Cambridge, Massachusetts, Amerika, telah menawarkan uang senilai US$ 1 juta kepada siapa pun yang dapat memecahkan salah satu dari tujuh permasalahan matematika itu.

Ternyata, ada saja yang berhasil, setidaknya berupa klaim, yakni Grigori Perelman, ilmuwan asal Steklov Institute of Mathematics, Rusia, dan Louis de Branges dari Purdue University, Amerika Serikat. Sepertinya mereka bakal muncul sebagai kandidat pertama pemenang sayembara tersebut. Perelman mengklaim berhasil mengungkap masalah Poincare Conjecture, sedangkan de Branges untuk Hipotesis Riemann.

Namun, para matematikawan di dunia sepertinya lebih antusias menguji pembuktian yang disodorkan Perelman. Ilmuwan eksentrik Rusia itu mengemukakan dua tahun lalu dan hingga kini masih terus dibuktikan oleh rekan-rekan sejawatnya di seluruh dunia.

Keith Devlin, ilmuwan matematika dari Stanford University, Senin lalu, mengemukakan, penundaan dalam menegaskan atau menolak solusi Perelman mengindikasikan betapa kompleksnya permasalahan Poincare Conjecture. Devlin berbicara dalam Festival Ilmiah British Association di Exeter, Inggris.

"Banyak pakar berpikir bahwa bukti Grigori Perelman tntang nca Cnjecture adalah tepat, tetapi kelihatannya masih dibutuhkan beberapa bulan lagi sebelum mereka pasti apakah itu benar atau salah", kata Devlin.

Devlin sendiri yakin bahwa bukti itu akan terbukti kebenarannya. "Kalaupun tidak, ide-ide baru Perelman yang telah diperkenalkannya masih memiliki banyak percabangan lain yang penting untuk permasalahan yang sama."

Permaslahan Poincare Conjecture dimunculkan oleh Henry Poincare, ahli matematika dan fisika asal Perancis yang sangat dikenal di bidang optik, termodinamika, dan mekanika fluida. Dia juga mengerjakan teori-teori relativitas sebelum Einstein. Pada 1904, dia mengeluarkan pertanyaan yang sangat mendasar: apa bentuk dari ruang yang kita tempati ini ?

"Begitu Anda masuk ke dalam empat dimensi, Anda berbicara tentang ruang yang tidak dapat Anda visualisasikan. Cara termudah untuk memvisualisasikannya adalah dengan mempelajari apa yang terjadi dengan satu dimensi di dalam permukaan-permukaan dua dimensi", ujar Devlin, yang juga Direktur Eksekutif Pusat Studi Bahasa dan Informasi di Stanford.

Teorema yang diciptakan Poincare memang mampu terbukti dalam dunia-dunia imajinasi sehingga obyek-obyek memiliki empat, lima, atau lebih dimensi. Tetapi, tidak dengan tiga dimensi.

"Sebuah kasus yang sangat menarik karena kaitannya dengan fisika adalah sebuah kasus ketika Poincare Conjecture belum terpecahkan", Devlin menambahkan.

Sementara itu, hipotesis Riemann menerangkan pola bilangan prima yang acak. Bilangan prima itu dianalogikan sebagai atom-atom dari aritmetika, merupakan kunci dari kode penyandian (kriptografi) internet. Bilangan prima menjaga bank tetap aman dan kartu kredit terlindungi. Seluruh e-commerce bergantung kepadanya.

Menurut Profesor Marcus Du Sautoy dari University of Oxford, apa yang belum ditemukan para ahli matematika adalah semacam spektrometer bilangan prima matematis. "Ahli kimia memiliki spektrometer, sebuah mesin yang apabila Anda memasukkan sebuah molekul ke dalamnya, mesin akan menginformasikan atom-atom penyusunnya. Ahli matematika belum memiliki mesin seperti itu,. Itulah yang kami cari", Du Sautoy menjelaskan.

Hipotesis Riemann, apabila terbukti benar, memang tidak akan menghasilkan semacam spektrometer kimia. Tetapi, bukti yang diberikannya sudah seharusnya memberi pemahaman yang lebih baik tentang bagaimana bilangan prima bekerja. Berbekal pemahaman itu barulah mungkin dapat diterjemahkan menjadi sesuatu yang mungkin untuk memproduksi spectrometer bilangan prima.

Namun, berbeda dengan Perelman, pembuktian yang coba dikemukakan De Branges (2004) atas Hipotetis Riemann disambut skeptis oleh rekan-rekannya sesama ahli matematika. "Bukti yang diumumkannya kurang komprehensif. Para ahli matematika tidak yakin sayembara itu akan dimenangkannya", ungkap Du Sautoy. Tetapi, Du Sautoy cepat-cepat mengingatkan, para matematikawan juga pernah bersikap yang sama di awal-awal sumbangannya yang terdahulu atas permasalahan matematika yang lain. Tetapi, belakangan, ilmuwan kelahiran Perancis itu terbukti benar.

Tujuh Problem Matematika

Pada 8 Agustus 1900, di depan peserta Kongres Matematika Internasional ke-2 di Paris, Perancis, ahli matematika David Hilbert menggelar kuliah umum yang sangat terkenal. Kuliahnya tentang problem-problem matematika terbuka. Seabad kemudian, terilhami dari kuliah itu, yayasan nirlaba The Clay Mathematics Institute (CMI) yang bermarkas di Cambridge, Massachusetts, Amerika, mencetuskan Sayembara Problem Milenium. Problem-problem matematika yang tak terpecahkan dipilih oleh sebuah Dewan Pertimbangan Ilmiah CMI. Ada tujuh problem matematika pada milenium ini yang menjadi tantangan bagi semua ahli matematika di dunia untuk membuat formulasinya. Barang siapa yang dapat mengungkap rahasia itu, tersedia hadiah US$ 1 juta. Ketujuh problem matematika itu:

1. Dugaan Birch dan Swinnerton-Dyer: Geometri Euclid untuk abad ke-21, melibatkan apa yang disebut titik Abelian dan fungsi zeta serta jawaban-jawaban terbatas dan tidak terbatas untuk persamaan-persamaan aljabar.
2. Poincare Conjecture: Permukaan sebuah apel saling tersambung secara sederhana. Tetapi, permukaan sebuah donat tidak. Bagaimana anda memulai dari ide konektivitas sederhana , lalu mengkarakterisasikan ruang dalam tiga dimensi ?
3. Persamaan Navier-Stokes: Jawaban bagi turbulensi gelombang dan angin terletak di suatu tempat dalam pemecahan persamaan ini.
4. P versus NP: Beberapa persoalan terlalu besar: Anda dapat dengan cepat membuktikan kebenaran sebuah jawaban yang memang benar, tetapi mungkin akan butuh seumur jagat raya apabila harus memecahkannya dari awal. Dapatkah Anda membuktikan pertanyaan mana yang paling berat dan mana yang tidak ? Hipotesis Riemann: Melibatkan fungsi-fungsi zeta, dan sebuah penekanan bahwa seluruh solusi "menarik" dari sebuah persamaan terdapat pada sebuah (persamaan) garis lurus.
5. Dugaan Hodge: Di tepian batas antara aljabar dan geometri, melibatkan persoalan teknis dari bentuk-bentuk bangunan dengan merekatkan blok-blok geometric secara bersamaan.
6. Yang-Mills dan Selisih Massa: Sebuah persoalan yang melibatkan mekanika kuantum dan partikel-partikel dasar. Para ahli fisika menyadari, komputer dapat mensimulasikannya, tetapi belum seorang pun yang telah menemukan teori untuk menerangkannya.

Sumber : Koran Tempo (8 September 2004)


Poincaré Conjecture

"If we stretch a rubber band around the surface of an apple, then we can shrink it down to a point by moving it slowly, without tearing it and without allowing it to leave the surface. On the other hand, if we imagine that the same rubber band has somehow been stretched in the appropriate direction around a doughnut, then there is no way of shrinking it to a point without breaking either the rubber band or the doughnut. We say the surface of the apple is "simply connected," but that the surface of the doughnut is not. Poincaré, almost a hundred years ago, knew that a two dimensional sphere is essentially characterized by this property of simple connectivity, and asked the corresponding question for the three dimensional sphere (the set of points in four dimensional space at unit distance from the origin). This question turned out to be extraordinarily difficult, and mathematicians have been struggling with it ever since."

artinya :
"kalo kita menarik karet di permukaan apel, kmdn kita bisa mengecilkan itu sampe kpd 1 titik dengan memindahkannya pelan2, tanpa sobek dan tdk meninggalkan permukaan. di sisi laen, bila karet yg sama ditarik di arah yg tepat di sekeliling donat, tdk mungkin utk mengecilkannya tanpa merusak karet ato donat".


salah satu masalah dalam matematika yg memang belum terpecahkan sampe saat ini, bahkan Clay Mathematic Institute memberikan hadian sebesar US $ 1,000,000 bagi siapa saja yg bisa menyelesaikannya. Totalnya ada 7 masalah klasik matematika yg belum terselesaikan, yaitu :

1. Hipotesis Riemann
2. Poincare Conjecture
3. Hodge Conjecture
4. Swinnerton Dyer Conjecture
5. Persamaan Navier-Stokes
6. Formulasi Teori Yang-Mills
7. Penentuan apakah NP-problem (nondeterministic polynomial time) merupakan P-problem (polynomial)

papa dan sierra

Tebak2an

Ada tebakan yang bikin ahli matematika bingung. nih… begini ceritanya:

* ada 1 ekor kambing harganya Rp 75.000
* ada 3 pemuda yang mau beli kambing tersebut…

berarti masing2 orang mengumpulkan @ Rp 25.000… Akhirnya terkumpul Rp 75.000 sesuai harga jual… betul?

Nah… uang itu lalu dikasih sama calo sejumlah uang tersebut = Rp75.000… Masih betul khan??? Calo itu ternyata ngasih ke pedagangnya Rp 70.000 (dipotong 5.000) Pasti dong?

Lalu dari 5.000 itu dibagi ke 3 pemuda tadi @ Rp 1.000 dan sisanya Rp 2.000 buat si calo… pasti masih betul khan?

Disini permasalahannya…
Berarti masing2 pemuda ngantongin Rp 1.000 (yach nggak) atau dengan kata lain seharusnya uang yang dikumpulkan oleh masing2 pemuda tadi Rp 25.000 – Rp 1.000 = Rp 24.000 Berarti masing2 pemuda harus membayar @ Rp 24.000 jadi perhitungan matematika = 3 X Rp 24.000 = Rp 72.000 bener dong???

Kalau ditotal jumlah uang yang dikumpulkan Rp.72.000

* Rp 2.000 (punyanya si calo) + Rp. 72.000= Rp 74.000 Pertanyaannya?

KEMANA SISA UANG YANG Rp. 1.000… HAYO…?

ANEH tapi NYATA !

Berikut Matematika sederhana, latihan berhitung yang akan mengejutkan anda !

Hanya 30 detik, yang anda harus lakukan . ikuti semua instruksi, lakukan dan jawablah semua pertanyaannya.

Jangan lihat kesimpulan akhir sebelum anda mencoba menjawab hitungan pertanyaan.

PERTAMA
Rencanakanlah berapa kali anda akan mengajak keluarga anda, pergi ke tempat yang mereka sukai dalam satu bulan.

KEDUA
Kalikan angka tersebut dengan dua (2).

KETIGA
Lalu di tambah dengan lima (5).

KEEMPAT
Kemudian. Kalikan dengan lima puluh (50).

KELIMA
Jika hari perayaan ulang tahun anda tahun ini (2008) telah lewat: tambahkan 1758. Jika belum lewat, tambahkan 1757.

KEENAM
sekarang kurangkan dengan bilangan tahun kelahiran anda (misal: 1980, 1971, dst).


Sekarang anda akan menemukan suatu angka ajaib dengan tiga bilangan (3 digit)


Angka/bilangan pertama menunjukkan,

Berapa kali anda dalam sebulan akan mengajak keluarga anda, pergi ke tempat yang mereka sukai.

Gimana benar kan? Sekarang anda mau tahu arti/kemungkinan lainnya?

Dua angka terakhirnya adalah…

Umur Anda !!!!
Great

IBU YANG DIMULIAKAN

( Pada Saat Tuhan Menciptakan Para Ibu )

Ketika itu Tuhan bekerja enam hari lamanya, kini giliran diciptakan para ibu. Seorang malaikat menghampiri Tuhan dan berkata lembut,“Tuhan, banyak nian waktu yang Tuhan habiskan untuk menciptakan para ibu ini.” Dan Tuhan menjawab pelan;“Tidakkah kau lihat perincian yang harus dikerjakan?”.

1) Ibu harus waterproof ( tahan air / cuci ) tapi bukan dari plastik.
2) Harus terdiri dari 180 bagian yang lentur, lemas dan tidak cepat capai.
3) Ia harus bisa hidup dari sedikit teh kental dan makanan seadanya.
4) Memiliki kuping yang lebar untuk dapat menampung keluhan – keluhan anak dan suaminya.
5) Memiliki ciuman yang dapat menyembuhkan hati yang sedih.
6) Lidah yang manis untuk merekatkan hati yang patah.
7) Enam pasang tangan ……

Malaikat itu menggeleng – gelengkan kepalanya,“enam pasang tangan?”, “ ck … ck … ck … “.
“Tentu saja ….,” bukan tangan yang merepotkan Saya, melainkan tangan yang melayani sana–sini, mengatur segalanya menjadi lebih baik”, balas Tuhan.

8) Juga tiga pasang mata yang harus dimiliki oleh seorang ibu.

“Bagaimana modelnya?”, Malaikat semakin heran.
Tuhan mengangguk – angguk. “Sepasang mata yang dapat menembus pintu yang tertutup rapat dan bertanya,“apa yang kau lakukan disitu?“, “padahal sepasang mata itu sudah mengetahui jawabannya“.
“Sepasang mata kedua sebaiknya diletakkan di belakang kepalanya, sehingga ia bisa melihat ke belakang tanpa menoleh, artinya ia dapat melihat apa yang sebenarnya ia tidak boleh lihat. Dan sepasang mata ketiga untuk menatap lembut seorang anak yang mengakui kesalahannya“.
Mata itu harus berkata,“Saya mengerti dan saya sayang padamu meskipun tak diucapkan sepatah kata pun.”

“Tuhan ,” kata malaikat itu lagi.
“Istirahatlah.”
“Tidak ….. saya tidak dapat ….. saya sudah hampir selesai.”

9) Ia harus bisa menyembuhkan diri dari sakit.
10) Ia harus bisa memberi 5 orang makan dengan uang yang menipis di akhir bulan.
11) Ia juga harus menyuruh anak 9 tahun untuk mandi pada saat anak itu tidak ingin mandi.

Akhirnya malaikat itu membalik – balikan contoh ibu dengan perlahan,
“Terlalu lunak;” kata - Nya memberi komentar.
“Tapi kuat,” kata Tuhan bersemangat.
“Takkan bisa engkau bayangkan betapa banyak yang bisa dia tanggung, pikul dan derita.”
“Apakah Ia dapat berfikir? “ Tanya malaikat lagi.
“Ia bukan saja dapat berpikir;” tapi ia juga dapat memberi gagasan, ide dan berkompromi;” kata sang Pencipta.
“Akhirnya malaikat menyentuh sesuatu di pipi.”
“Eh … ada kebocoran di sini; itu bukan kebocoran;” kata Tuhan.
“Itu adalah air mata …Air mata kekecewaan … Air mata kesedihan …, Air mata kebahagiaan …, Air mata kesepian …, Air mata kesakitan …, Air mata …, Air mata …
“Tuhan memang ahlinya;” Kata Malaikat pelan.




Mulialah Engkau wahai ibu ……………………..……………………..…..